Others

SISTEM BILANGAN REAL
ilangan real mempunyai banyak pemakaian, misal setengah keuntungan usaha Anton tahun 2007 digunakan untuk menambah modal usaha. Jika keuntungan usaha Anton pada
tahun 2007 adalah Rp 100.000.000, maka modal usaha Anton
pada tahun 2007 bertambah sebesar
. Penambahan modal usaha Anton
tersebut, juga dapat dinyatakan dalam bentuk persen (%), yaitu 50% dari
keuntungan pada tahun 2007. Besarnya kerugian suatu usaha juga dapat
dinyatakan dengan menggunakan bilangan real negatif. Pada bab ini
akan dipelajari tentang bilangan real dan operasi yang dapat dilakukan
pada bilangan real.
Operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real tersebut meliputi:
operasi pada bilangan bulat dan pecahan, operasi pada bilangan
berpangkat, menerapkan operasi pada bilangan irrasional (bentuk akar),
operasi pada logaritma. Selain itu, juga dibahas konversi bilanganbilangan
bulat dan bilangan pecahan ke atau dari bentuk persen,
pecahan desimal, pecahan campuran. Pada bab ini juga dibahas
masalah perbandingan, skala, dan persen.
B
2
1.1 BILANGAN REAL DAN OPERASI PADA REAL
1.1.1 BILANGAN REAL
Sistem bilangan merupakan dasar matematika. Oleh karena itu,
sangatlah penting untuk mengenal berbagai jenis bilangan dan
perbedaan di antara bilangan-bilangan tersebut. Dalam sub-bab ini akan
dikenalkan mengenai dasar dan istilah yang berkaitan dengan bilangan
asli, cacah, bulat, rasional, irrasional, dan real.
_ Bilangan Asli
Dalam keseharian, biasanya orang membilang mulai dari 1, 2, 3, 4, 5, 6,
dan seterusnya. Bilangan – bilangan ini dinamakan bilangan asli.
Himpunan bilangan asli (natural) biasa dilambangkan dengan N, adalah
suatu himpunan yang anggotanya bilangan asli, seperti dituliskan berikut
ini.
N = {1, 2, 3, 4, 5, … }
_ Bilangan Cacah
Jika bilangan 0 dimasukkan dalam himpunan bilangan asli, maka
himpunan tersebut dinamakan himpunan bilangan cacah, dan
dilambangkan dengan H, yaitu:
H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
Setiap bilangan asli juga merupakan bilangan cacah, akan tetapi bukan
sebaliknya.
CONTOH 1.1.1
Bilangan 7 adalah bilangan asli dan 7 juga merupakan bilangan
cacah.
Bilangan 4 adalah bilangan asli dan 4 juga merupakan bilangan
cacah.
3
Bilangan 0 merupakan bilangan cacah akan tetapi 0 bukan
merupakan bilangan asli.
_ Bilangan Bulat
Bilangan asli 7 dapat juga dituliskan dengan memberikan tanda +
didepannya menjadi +7. Jadi bilangan 7 dan +7 adalah sama. Namun
demikian, tanda + tidak biasa dituliskan. Dalam perhitungan banyaknya
suatu objek, sering dijumpai adanya kekurangan objek. Misal jumlah apel
dalam suatu kardus seharusnya 100 buah apel, ternyata setelah
dilakukan penghitungan banyaknya apel ada 97 buah. Jadi ada
kekurangan buah apel sebanyak 3 buah. Untuk menyatakan kekurangan
3 buah apel ini dapat dituliskan dengan symbol -3 buah apel.
Selanjutnya didefiniskan suatu bilangan negatif –n dengan n adalah
bilangan asli. Himpunan bilangan yang dinotasikan dengan lambang Z
dan mempunyai anggota seperti berikut ini dinamakan himpunan
bilangan bulat (integer).
Z = {… ,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Setiap bilangan cacah juga merupakan bilangan bulat, akan tetapi bukan
sebaliknya. Himpunan bilangan asli merupakan himpunan bagian dari
himpunan bilangan cacah, begitu juga himpunan bilangan cacah
merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat.
CONTOH 1.1.2
Bilangan 7 adalah bilangan cacah dan 7 juga merupakan bilangan
bulat.
Bilangan 0 adalah bilangan cacah dan 0 juga merupakan bilangan
bulat.
Bilangan -7 merupakan bilangan bulat akan tetapi -7 bukan
merupakan bilangan cacah.
4
Jadi bilangan bulat terdiri dari:
􀀹 Bilangan bulat positif, yaitu: 1, 2, 3, …
􀀹 Bilangan bulat 0 (nol), dan
􀀹 Bilangan bulat negatif, yaitu: -1, -2, -3, …
_ Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional, dinotasikan dengan lambang Q.
Bilangan rasional berbentuk pembagian bilangan bulat dengan p
disebut pembilang (numerator) dan q􀂏0 disebut penyebut
(denominator). Karena itu, himpunan bilangan rasional dapat
dituliskan sebagai berikut.
CONTOH 1.1.3
Berikut ini merupakan contoh-contoh bilangan rasional:
adalah bilangan rasional yang berbentuk dengan a b. Bentuk bilangan rasional seperti ini disebut pecahan tak murni.
Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat juga merupakan bilangan
rasional karena setiap bilangan bulat p dapat ditulis sebagai pembagian
. Bilangan rasional mempunyai tak berhingga banyak bentuk
representasi bilangan. Seperti bilangan rasional 1 dapat dituliskan
5
dengan , atau , atau , atau yang lainnya. bilangan rasional dapat
dituliskan dengan , atau , atau , atau yang lainnya.
Sifat bilangan rasional:
Nilai dari suatu bilangan rasional tidak berubah, jika pembilang p dan
penyebut q keduanya dikalikan atau dibagai dengan bilangan bulat selain
0.
Bentuk Desimal
Bilangan rasional dapat dituliskan dalam bentuk desimal
. Untuk i = 1, 2, 3, …, n+m, di merupakan
angka / digit desimal 0, 1, 2, …, atau 9. Nilai dari bilangan bentuk desimal
adalah
d1(10n)+d2(10n-1)+…+dn(100)+dn+1(10-1)+dn+2(10-2)+…dn+m(10m)
dengan :
, , , dan seterusnya.
, , , dan seterusnya
Sedangkan didefinisikan dengan .
Sebagai gambaran bilangan 235,47 mempunyai nilai
6
CONTOH 1.1.4
Berikut ini merupakan contoh-contoh bentuk desimal dari bilangan
rasional:
, nilai 0,5 didapat dari membagi bilangan 1 dengan bilangan 2.
, nilai 0,25 didapat dari membagi bilangan 1 dengan bilangan
4.
, nilai 7,5 didapat dari membagi bilangan 15 dengan bilangan
2.
, tanda … menyatakan angka perulangan 3 diulang terus
sampai dengan tak berhingga banyak. Bentuk 0,33333… ini sering
disingkat dengan .
, tanda … menyatakan angka perulangan 25 diulang
terus sampai dengan tak berhingga banyak. Bentuk 0,252525… ini
sering disingkat dengan .
Dengan memperhatikan contoh di atas, dapat dikatakan bahwa:
1. Ada bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk desimal
terbatas, seperti bilangan 0,5 ; 0,25 ; 0,125 dan lainnya.
2. Ada bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk desimal
tak terbatas, seperti:
a. Bilangan 0,3333… angka 3 dibelakang tanda koma berulang tak
terbatas.
b. Bilangan 0,125125125125… angka 125 dibelakang tanda koma
berulang tak terbatas.
7
CONTOH 1.1.5
Nyatakan bilangan rasional desimal berikut ini ke dalam bentuk
pembagian dua bilangan bulat .
a. 2,3 b. 23,45
Penyelesaian:
a. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.
Jadi x = 2,3
Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 10. Kita ambil pengali 10
karena angka dibelakang tanda koma terbatas satu angka. Lanjutkan
dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini.
10 x = 23, atau
x =
b. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.
Jadi x = 23,45
Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 100. Kita ambil pengali
100 karena angka dibelakang tanda koma terbatas dua angka.
Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini.
100 x = 2345, atau
x =
CONTOH 1.1.6
Nyatakan bilangan rasional desimal berikut ini ke dalam bentuk
pembagian dua bilangan bulat .
a. 1,33333… b. 0,123123123…
8
Penyelesaian:
a. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.
Jadi x = 1,33333…
Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 10, kita ambil pengali 10
karena angka dibelakang tanda koma tak terbatas dan hanya satu
angka yang berulang, yaitu 3. Lanjutkan dengan operasi aljabar,
didapat hasil berikut ini.
10 x = 13,33333…
10 x = 12 + 1,33333…
10 x = 12 + x
9 x = 12
x =
b. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.
Jadi x = 0,123123123…
Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 1000, kita ambil pengali
1000 karena angka dibelakang tanda koma tak terbatas dan hanya
tiga angka yang berulang, yaitu 123. Lanjutkan dengan operasi
aljabar, didapat hasil berikut ini.
1000 x = 123,123123123…
1000 x = 123 + 0,123123123…
1000 x = 123 + x
999 x = 123
x =
Langkah-langkah berikut merubah bilangan rasional berbentuk desimal
menjadi bilangan rasional berbentuk .
1. Lakukan pemisalan bilangan rasional yang dicari adalah
x= .
9
2. Jika m berhingga / terbatas, maka kalikan kedua ruas persamaan
pada langkah 1 dengan bilangan .
Jika m tak berhingga / tak terbatas, maka kalikan kedua ruas
persamaan pada langkah 1 dengan bilangan , dengan r adalah
banyaknya digit yang berulang pada deretan digit dn+1dn+2…dn+m.
3. Lakukan operasi aljabar untuk

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s